想象宇宙如同一系列快照。一个 数列 正是如此：一组按位置（索引 $n$）决定值的实数有序列表。与集合不同，顺序和重复是其结构的核心。
1. 严格的定义
数列 $\{a_n\}$ 可以看作一个列表：$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$。更正式地说，它是定义在正整数集上的函数。
定义 1（非正式）
如果对于任意给定的接近程度，我们都能通过取足够大的 $n$，使项 $a_n$ 无限接近于 $L$，那么该数列的极限为 $L$（记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$）。
定义 2（正式 ε-N）
$\lim_{n \to \infty} a_n = L$ 当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，都存在对应的整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - L| < \varepsilon$。
2. 微积分的桥梁：定理 3
我们最强大的工具之一，就是将离散数列视为连续函数处理的能力。这使我们能够充分发挥洛必达法则的作用。
若 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 且 $f(n) = a_n$，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$。
例题
求 $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$。
考虑函数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$。当 $x \to \infty$ 时，这是一个 $\infty/\infty$ 型未定式。应用洛必达法则：
$\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$。根据定理 3，该数列也收敛于 0。
3. 发散的微妙之处
发散并不总是意味着“爆炸”到无穷大。一个数列可以通过 振荡来发散。例如 $a_n = (-1)^n$。这些项在 $-1$ 和 $1$ 之间不断来回跳动，永远无法稳定在一个特定值上。
🎯 核心原则
收敛要求：对于你选择的任意微小距离 ε，数列中都存在一个点（N），在此之后 所有 剩余的所有项都被限制在距离极限 $L$ 的这个范围内。
主题侧栏： 在本章的最后一节中，你需要使用级数推导出海洋波速度的公式。